Naucz się rachunku różniczkowego — granice, ciągłość, pochodne i ich zastosowania. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego. Study with Quizlet and memorize flashcards containing terms like (C)' = ? (C to stała), (x^n)' = ?, (x)' = ? and more. Miara łukowa kąta. 2. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. 3. Wykres funkcji y = sinx oraz y = cosx 4. Wykres funkcji y = t 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Zad 6) Wyznacz granice ciągów: a) n √ nn+ 5 b) (sinn−2)n2 Zad 7) Wyznacz granice ciągów: a) n n2+1 sin(3n+ 1) b) 1+2++n n3+1 cosn! Zad 8) Wyznacz granice ciągów: a) nsin π n b) lnn n Zad 9) Wyznacz jawny wzór na wyraz ciągu i zbadaj jego zbieżność: a) a 1 = 4; a n+1 = 4 3 √ a n b) a 1 = 2; a n+1 = 2 3 p a2 n Zad 10 Ciąg arytmetyczny – definicja, wzory, przykłady, zadania. Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, którego wyrazy powstają poprzez dodawanie do pierwszego wyrazu stałej wartości zwanej różnicą ciągu. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: , gdzie - pierwszy wyraz ciągu, - różnica ciągu. Vay Tiền Trả Góp 24 Tháng. Jeżeli limn→∞ an =a i limn→∞ bn =b to: limn→∞ ( an + bn ) = a+b , limn→∞ ( an - bn ) = a-b , limn→∞ ( an bn ) = ab , ∃ k∈N+ ∀ n>k ( bn≠0 ∧ b≠0 ) ⇒ limn→∞ an bn = ab , ∃ k∈N+ ∀ n>k ( an ≥ bn ⇒ a≥b ) . Granicą ciągu nazywamy wartość, w której otoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy danego ciągu. Granicę ciągu \(a_n\) zapisujemy w postaci: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n}\). W przypadku prostych ciągów, liczenie granicy jest niezwykle banalne. Wystarczy policzyć kilka pierwszych wyrazów, aby łatwo zgadnąć do jakiej liczby zbieżny jest dany ciąg. Przykładowo: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} {1 \over n}}\) \(n\) 1 2 3 4 \({ \rightarrow \infty}\) \({1 \over n}\) 1 \({1 \over 2}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 4}\) \({\rightarrow 0}\) Warto wspomnieć, że ciąg może być rozbieżny do \({+\infty} \) lub \({- \infty}\); może również nie mieć granicy w ogóle. Podstawowe własności granicy ciągu: Jeżeli a jest dowolną liczbą rzeczywistą oraz \({|a| 1\), to: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty}\). Jeżeli \(a>0\), to \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}} =1\). Niech \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n} = a\) oraz \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = b}\), wtedy: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)} = a+b\) \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n)} = a-b\) \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)} = {a \cdot b}\) \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_n \over {b_n}}} = {a \over b}\) (oczywiście \({b_n \neq 0, b \neq 0}\)) Przykładowo, jak wyznaczyć granicę ciągu \(a_n= {1 \over n} +5\)? \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} ({1 \over n} +5)}\) Wiemy, że w tym przypadku \({{1 \over n} \quad \rightarrow \quad 0}\), zatem: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} ({1 \over n} +5)} = 5\). Inną definicją granicy ciągu z jaką możemy się spotkać jest: Stałą liczbę g nazywamy granicą ciągu, jeśli: \({\forall_{\epsilon >0} \exists_{ N }\forall_{ n>N}} |a_n - g|N, spełniony jest warunek \(|a_n - g| <{\epsilon}\). Warto o tym wspomnieć, ponieważ zdarza się rozwiązywać granice ciągów z tej definicji.

wzory na granice ciągów